Divisores de un número entero

Un divisor de un número entero es simplemente algún otro número por cual se puede dividir el mismo.
Por ejemplo, yo puedo dividir 20 por 5. Entonces 5 es un divisor de 20. También decimos que 5 divide a 20.

Cómo hallar divisores de un número

Si el número es no muy grande (menos de 100), primero se recuerda las tablas de multiplicar.
¿Se halla tu número en algún tabla de multiplicar? Entonces es divisible por ese número.
Por ejemplo, yo sé que 56 se halla en tabla de 7. Entonces 56 se puede dividir por 7. También se puede dividir por 8.
Luego usamos las reglas or criterios de divisibilidad para hallar más divisores.

Las reglas de divisibilidad

Divisibilidad por 2
Un número entero es divisible por 2 SI su última cifra es 0, 2, 4, 6, o 8.
Divisibilidad por 3
Un número entero es divisible por 3 SI la SUMA de sus cifras es divisible por 3.
Por ejemplo, ¿es 394 divisible por 3? Sumamos sus cifras: 3 + 9 + 4 = 16. Ya que 16 NO es divisible por 3, 394 tampoco es.
También se puede usar este método para hallar el resto o residuo: se suma las cifras y se prueba dividir por 3. El resto de esta división también es el resto de division del núero original.
Por ejemplo, ya hallamos que la suma de las cifras de 394 es 16. El resto de dividier 16 por 3 es 1; entonces dividiendo 394 por 3, el resto es 1 también.
Se puede aplicar este criterio multiples veces. ¿Es 907730485 divisible por 3? La suma de sus cifras es 9 + 7 + 7 + 3 + 4 + 8 + 5 = 43. Si no sabes si 43 es divisible por 3, puedes sumar las cifras de 43 y obtener 4 + 3 = 7. Entonces, ya que 7 no es divisible por 3, tampoco son 43 y 907730485.
Divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible por 4.
Por ejemplo, 45,253. Toma las dos últimas cifras: 53. 53 no es divisible por 4, y tampoco es 45,253.
Otro ejemplo: ya que 80 es divisible por 4, entonces 3280, 32480, 293180 etcetera todos son divisibles por 4.
Divisibilidad por 5
Es muy facil: si la última cifra de un número es 0 o 5, es divisible por 5.
Divisibilidad por 10
Es muy facil: si la última cifra de un número es 0, es divisible por 10.
Divisibilidad por 6
Si un número es divisible tanto por 2 como por 3, es divisible por 6.
Divisibilidad por 11
Toma las cifras de tu número por la derecha, y alterna sumando y restando. Si la respuesta es divisible por 11, también es tu número.
Por ejemplo, estudiamos 294,398. Alterna sumando y restando sus cifras comenzando por la derecha: 8 - 9 + 3 - 4 + 9 - 2 = 5. Ya que 5 no es divisible por 11, tampoco es 294,398; y también sabemos que el resto de dividier 294,398 por 11 es 5.

Hallar todos los divisores

En principio es simple: se prueba todos los números enteros entre 1 y la raíz cuadrada de su número.
Tomamos un ejemplo. Hallar todos los divisores de 112.
Por defecto, 1 y 112 dividen a 112, y por tanto son divisores de 112.
Despues de esto, probamos los números enteros en orden: 2, 3, 4, 5, 6, etc. si son divisores de 112 o no.
Primero se nota que es divisible por 2 ya que su última cifra es 2. (También es divisible por 4 ya que las dos últimas cifras son 12.)
Entonces dividimos por 2 para hallar un otro divisor: 112 ÷ 2 = 56. Este numero también divide a 112: 112 ÷ 56 = 2. Entonces tenemos dos divisores: 2 y 56.
Todos los otros divisores serán entre 2 y 56.
Entonces probamos 3. Ya que 1 + 1 + 2 = 4 y 3 no divide a 4, entonces 3 no divide a 112.
Entonces 4: sí es divisible por 4 ya que las dos últimas cifras son 12. Dividimos: 112 ÷ 4 = 28; entonces 28 también es un divisor de 112.
Hasta ahora tenemos divisores 1, 2, 4, 28, y 56. Si hay otros, serán entre 4 y 28.
5 no sirve ya que 112 termina en 2.
6 no sirve ya que 112 no fue divisible por 3.
7 si es un divisor: 112 ÷ 7 = 16. Entonces 7 y 16 son divisores.
8 si es un divisor: 112 ÷ 8 = 14. Entonces 8 y 14 son divisores - y los demás posibles divisores son entre 8 y 14.
9 no puede ser un divisor ya que 3 no fue un divisor.
10 no es un divisor ya que 112 no termina en cero.
11 no sirve. (2 - 1 + 2 = 2 y 2 no divide a 11). Y, si probamos de dividir 112 entre 11, la respuesta es un poco más de 10. Ya hemos probado 10. Entonces no necesitamos probar más números.
Entonces todos los divisores son: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, y 112.

Propiedades de los Números

Hay cuatro propiedades básicas de los números: conmutativa, asociativa, distributiva, y la identidad. Usted debe estar familiarizado con cada uno de estos. Es especialmente importante comprender estas propiedades una vez que llegue a las matemáticas avanzadas, tales como álgebra y cálculo.

Propiedad conmutativa

A. Además. Cuando dos números se suman, la suma es la misma independientemente del orden en que los números se añaden.

3 + 5 = 8 o 5 + 3 = 8

B. Multiplicación. Cuando dos números se multiplican entre sí, el producto es el mismo independientemente del orden en que los números se multiplican.

3 x 5 = 15 ó 5 x 3 = 15

Propiedad asociativa

A. Además. Cuando tres o más números se suman, la suma es la misma independientemente de la forma en que los números se agrupan.

6 + (4 + 3) = 13 o (6 + 4) + 3 = 13

B. Multiplicación. Cuando tres o más números se multiplican, el producto es el mismo, independientemente de la forma en que los números se agrupan.

6 x (4 x 3) = 72 o (6 x 4) x 3 = 72

Propiedad distributiva

La suma de dos números veces al tercer número es igual a la suma de cada addend veces el tercer número.

5 x (7 + 2) = 45 ó 5 x 7 + 5 x 2 = 45

Propiedad de identidad

A. Además. La suma de cualquier número es cero y ese número.

12 + 0 = 12

B. Multiplicación, el producto de cualquier número y uno es ese número.

18 x 1 = 18

Conocer las propiedades de estos números mejoren su comprensión y dominio de las matemáticas.

LA HISTORIA DE LOS NÚMEROS ENTEROS Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA

  “El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”

Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.

La creación de los números naturales dependió no solo de un hombre en particular sino de la intervención de varios hombres para regularizar y hacer práctico su uso.

Los números naturales son aquellos que utilizamos para contra "uno" 1, "dos" 2, "tres" 3.... y utilizamos este nombre para diferenciarlo de  números fraccionarios: "1/5", "3/3" etc. para diferenciarlo de números decimales "2.5", "6.3" etc. los números enteros pueden ser tanto positivos como negativos.

Desde que nos levantamos a diario para realizar nuestras labores, utilizamos el número natural. Algunas veces  no nos percatamos de esto, pero basta con que pensemos en el número de días de una semana, o como futura docente podría pensar en el número de alumnos que atenderé.  Entonces, que los números naturales tiene dos primeras características: la cardinalidad y la ordinalidad.

La representación simbólica de los números naturales, se presupone que surgió antes del nacimiento de las palabras para “representarlos”, seguramente porque es más fácil contar muescas en un palo que establecer una frase para identificar un número concreto. Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos. Citamos a continuación la simbolización de diversas culturas respecto a los números naturales, según su contexto.

     

 

Finalmente se estableció el conjunto de los números naturales, con la notación adoptada por la letra N, y es el siguiente:

Ν = {0,1,2,3,4,...,100,101,....}

Se observa que los números están ordenados, entonces podemos relacionarlo con puntos mediante la recta numérica, cumpliendo una relación de punto a número, siendo así un ejemplo de la característica infinita de los naturales.

Estoy incluyendo el cero en los números naturales. Sin embargo según la Teoría de Números, el cero no debe incluirse en los números naturales. Los pitagóricos clasificaron los números (naturales) en pares e impares y, probablemente, la designación de números perfectos, que se encuentra en Euclides (Egipto Ptolemaico, alrededor de 365 d.C.-275 a.C.)7, para aquellos números como el 6, 28, 496, 8128 que tienen la propiedad de ser iguales a la suma de sus divisores menores que él; luego los números amigos para aquellos como 220 y 284, cada uno de los cuales es la suma de los divisores del otro.

Los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir. Es por esto que se hace una extensión al conjunto de los naturales, la necesidad de completitud genera el conjunto de los números negativos.

Los números negativos

Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo XVI. En oriente se manipulaban números positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tabillas o bolas de diferente color.

Representación gráfica de los números enteros

Los números enteros se representan gráficamente en una recta:

-Los números positivos se ubican a partir del punto 0 hacia la derecha.
-Los números negativos se ubican a partir del punto 0 hacia la izquierda.
-Si dos números son iguales, les corresponde el mismo punto en la recta numérica.
-Si un número es menor a otro, el menor se ubica a la izquierda del mayor.
-Si un número es mayor a otro, el mayor se ubica a la derecha del menor.
-Cada número y su opuesto están a igual distancia del cero.

 

El conjunto de números enteros se designa con la letra Z. A partir de su representación gráfica se observa que:

-El conjunto de números enteros no tiene ni primer ni último elemento.
-Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.
- Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo que el conjunto es discreto.

Valor absoluto

Los números 3 y -3 tienen igual valor absoluto, ya que:

 A partir de esta definición podemos decir que:

- Dos números enteros son iguales cuando tienen igual valor absoluto e igual signo.
- Dos números enteros son opuestos cuando tienen igual valor absoluto y distinto signo.

Relación de mayor

- Siendo dos números enteros positivos, un número entero a es mayor que otro b si el valor absoluto de a es mayor al valor absoluto de b.

- Siendo números enteros negativos, un número entero a es mayor que otro b si el valor absoluto de a es menor al valor absoluto de b.

- Siendo dos números enteros de distinto signo, un número entero a es mayor que otro b si a es positivo.

Relación de mayor

Análogamente:

- Siendo dos números enteros positivos, un número entero a es menor que otro b si el valor absoluto de a es menor al valor absoluto de b.

- Siendo números enteros negativos, un número entero a es menor que otro b si el valor absoluto de a es mayor al valor absoluto de b.

-Siendo dos números enteros de distinto signo, un número entero a es menor que otro b si a es negativo.

Conclusiones personales

1. Los números nacen junto la evolución del hombre, se origina de la práctica en la naturaleza.

2. La necesidad en la matemática la impulsa para ir cambiando y evolucionando.

3. Cada cultura dio manifestaciones de la noción de cantidad y la idea de número en sus representaciones.

4. Los enteros no fueron aceptados de manera universal hasta el siglo XVIII, sin embargo ya era usado por algunas culturas.

5. El cero no se origina formalmente junto con los números naturales.

6. Es necesario aplicar la historia de las matemáticas, como recurso didáctico, en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las  matemáticas.

Es evidente la importancia que tienen los números enteros en nuestra vida y como futura docente en la especialidad de matemáticas la práctica de ellos será inevitable y aun que ya tenia conciencia  el gran valor que ejercen en mi vida personal y laboral la realización del presente ensayo me ayudo  atener más conocimiento acerca de el origen de estos números así como descifrar el por que  de las incógnitas que a veces se nos presentan como la  del cero.

Todo ese aprendizaje me será de gran apoyo para  explicar a mis futuros alumnos sobre la importancia que las matemáticas ejercen sobre nuestra vida, de esta forma ellos se sentirán con más entusiasmo para aprender de ella  pues los contenidos que les enseñaré solo será la teoría de la práctica que cotidianamente realiza en su vida logrando así el uso del verdadero aprendizaje significativo.