miércoles, 2 de noviembre de 2011

HOMOTECIA

Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o varias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de unpunto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

A efectos prácticos una homotecia y una semejanza son lo mismo, y por tanto, se opera igual en una que en otra.

Siendo un poco más exactos, en una homotecia siempre hay un centro de homotecia definido, mientras que en la semejanza se puede utilizar cualquier punto. Es por ello que cuando se plantea un problema de homotecia siempre te dan el centro o datos para calcularlo. Mientras que en la semejanza no lo suelen dar, sino que eres tu el que eliges cual te conviene más. Habitualmente se escoge uno de los vértices de la figura por comodidad, aunque se puede utilizar cualquier punto incluidos los que estaneestán exterior o interior de la figura.

También se suele decir que dos figuras homotéticas deben de tener la misma orientación y sus lados ser paralelos, mientras que en una semejanza una figura puede estar girada respecto de la otra o incluso tener sus lados simétricos, aunque esto no os lo suelen plantear así.

Homotecia directa y homotecia inversa

En una homotecia de centro el punto O y razón k:

Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se dice que la homotecia es directa.
Si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se dice que la homotecia es inversa.

A la figura ABCD le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k > 0; homotecia directa.

A la figura ABC le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k < 0; homotecia inversa.

Imagen:

Homotecia directa

Imagen:

Homotecia inversa

HOMOTECIAS y SEMEJANZAS, en general

Ejemplo y Ejercicios del Teorema de Tales

El teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Para tener bien cimentado un conociemiento se dice que es necesario ponerlo en práctica antes de 48 horas.

Por esta razón ahora que ya conociste el teorema de tales y todo lo que engloba, su utilidad se te plantearán ejerccios para resolver trata de hacerlos tu solo si requieres apoyo regresa a la información antes estudiada.

Ejercicios de autoaprendizaje.

Problemas Propuestos.

1. Divide un segmento cualquiera en 4 partes iguales utilizando el teorema de Tales. Sabrías

hacerlo por otro procedimiento exacto.

2. Divide un segmento cualquiera en 5 partes iguales utilizando el teorema de Tales.

3. Divide un segmento cualquiera en 3 partes proporcionales a 2, 3, 5 utilizando el teorema de Tales.

4. De las parejas de triángulos siguientes conocemos los lados, determina cuales son semejantes y cuales no lo son.

En caso afirmativo indica la razón de semejanza:

a) 40, 30, 50 120, 90, 150

b) 7, 7, 7 20, 20, 20

c) 50, 60, 70 6, 7, 8

d) 10, 5, 15 6, 3, 9

e) 40, 60, 70 6, 9, 10

f) 3, 9, 3 20, 40, 20

g) 60, 30, 60 2, 4, 2

5. Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determina el cada caso la razón de

semejanza y los valores desconocidos:

a) 2, 4, 5 4, x, 10

b) 5, 8, 10 150, x, y

c) 30, 40, 50 x, 10, y

6. Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determina en cada caso la razón de

semejanza y los valores desconocidos:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

7. Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determina el cada caso los valores

desconocidos.

a) 45º, 90º, xº 45º, yº, zº

b) 35º, 65º, xº yº, 65º, zº

c) 35º, 45º, xº aº, bº, cº

d) xº, 35º, yº 105º, aº, bº

8. Una persona mide 1’75 m en el mismo instante que la medida de la su sombra es 1m, la

sombra de un edificio mide 25 m. Calcula la altura del edificio.

9. Un rectángulo tiene una diagonal de 75 m. Calcula sus dimensiones sabiendo que es semejante

a otro rectángulo de lados 36 m y 48 m.

10. La razón de semejanza de dos figuras es 6 determina la relación de sus áreas. Si la pequeña mide 10cm

11. El área de un cuadrado es 81 cm

grande y la razón de semejanza es 5.

12. El volumen de una esfera es de 1000 cm

radio.

13. Una escultura de 100 cm de altura pesa 2500 gr.

¿Cuánto pesará una reproducción de la misma material y de 220 cm de altura?

14. Una manguera de jardín tiene un radio de 1’2 cm. Queremos comprar otra manguera que tire

el doble de agua. Calcula el radio que tiene que tener.

15. El área de dos círculos es 25m

2 calcula el área de la grande.2 . Calcula la longitud de otro cuadrado sabiendo que es más3 . Calcula el volumen de otra esfera que duplique el2 y 50m2 . Calcula la razón de semejanza.

TEOREMA DE TALES

TEOREMA DE TALES

Como parte de los contenidos que estoy abordando en mi Licenciatura en Educación Secundaria en la Especialidad de Matemátias 5to sem. se encuentra como tema importante el Teorema de Tales por lo cual dejo información importante para entenderlo.

Es importante antes de entrar de lleno con el tema saber su definiciój o las antecdedentes que se utilizarán para entender el nvo. contenido por lo cual me es convenciente marcar la definición de algunas palabras antes del mismo teroema de tales:

Triangulo:

Figura geométrica formada por tres rectas que se cortan mutuamente, formando tres ángulos". Y claro, el nombre lo dice: TRI - ÁNGULO significa tres ángulos.

Rectas Secantes:

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto.

Dos rectas son secantes si tienen distinta pendiente.

m ≠ m'

Rectas Paralelas:

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

Proporcionalidad:

Llamese así al conjunto de dos magnitides que estan equilibradas

Sabiendo ya algunos de los conceptos que son necesarios en el teorema se presenta a continuación:

Teorema de Tales:

Cuando dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos que se forman en una de las secantes son proporcionales a los que se forman en la otra.

Para entender mejor la definición del teorema, imaginemos un triángulo

como el de la figura 1. Si señalamos un punto M sobre el lado AB y por él trazamos una paralela al lado BC, entonces, el lado AC del triángulo quedará cortado por la paralela en un punto que llamaremos N. Si volvemos a trazar otra paralela por un punto Q, que corte al lado AC por P, ya tendremos elementos suficientes para entender el teorema de Tales.

Pues bien, el teorema de Tales afirma que la razón de dos segmentos cualesquiera de los que se han formado en AB es igual a la razón de otros dos cualesquiera que estén en AC. Es decir, que si medimos y hallamos la razón

, el resultado que obtenemos es el mismo que si calculamos esta otra:

, o también que

Y dice algo más: que todas las razones anteriores también son iguales a estas otras:

; y a estas:

. Resumiendo, podemos afirmar que:

Nota: en el esquema de abajo tenemos una forma práctica de recordar este teorema:

domingo, 30 de enero de 2011

RAZONES Y PROPORCIONES

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

A) Proporción Directa

Dos cantidades a y b son Directamente Proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuye el mismo número de veces.

Se le simboliza como ( k =cte. proporcionalidad)

Los cuocientes que forman una
proporción directa tienen siempre un valor constante.

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen.

El símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo, A ∝ B.

En Unicode este es el símbolo: U+221D.

B) Proporción Inversa

Dos cantidades, a y b, son Inversamente Proporcionales cuando haciéndose mayor o menor la primera cantidad, la segunda se hace menor o mayor el mismo número de veces.

Se le simboliza como (k = cte. proporcionalidad)

El producto de dos cantidades inversamente proporcionales es siempre constante.

Su gráfica es asintótica al eje x.

C) Proporción Compuesta

Para resolver un problema de proporcionalidad compuesta debes seguir los
siguientes pasos:
1º.- Plantea la regla de tres. Expresa las cantidades de la misma magnitud en la
misma unidad.
2º.- Compara cada magnitud con la que lleva la x para ver si la proporcionalidad
entre ellas es directa o inversa. Escribe D debajo de las directas e I debajo de las
inversas.
3º.- Si hay alguna proporcionalidad inversa vuelve a plantear la regla de tres
invirtiendo las cantidades en las que sean inversas.
4º.- Escribe una proporción de la siguiente forma: la primera razón con las
cantidades de la magnitud donde está la x , la segunda razón con el producto de las
cantidades de las demás magnitudes.
Fíjate en el siguiente ejemplo.
  Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1 000
piezas. ¿Cuántos días tardará en hacer 3 000 piezas trabajando 10 horas diarias?
Nºpiezas Horas día Días
1000 8 5
3000 10 x
(A doble de piezas, doble de días necesarios)
(A doble de horas diarias, mitad de días necesarios)
1000 10 5
3000 8 x

3000 . 8
1000 . 10
x
5
= 12
1000 . 10
5 . 3000 . 8
x = =
   Tardará 12 días

Proporcionalidad mixta.

Un trozo de seda bordada de 12 m de largo y 5 de ancho cuesta 400 euros. ¿Qué trozo de

tela puedo comprar si necesito que sea de 4m de largo y dispongo de 200 euros? Se expresa el

enunciado en la siguiente tabla:

m largo m ancho €

12 5 400

4 ? 200

Se establecen las relaciones: A menor número de euros (e igual largo) menor altura de la tela, a
menor largo de tela mayor (e igual número de euros) mayor ancho de la tela.
Una vez extraídas las relaciones, se identifica la primera como relación de proporcionalidad directa y
la segunda de proporcionalidad inversa. Se procede a resolverlo por partes:
Si con 400 € puedo comprar un trozo de tela de 12 m de largo y 5m de alto, ¿qué alto podré comprar
con 200€ para el mismo largo?
400 € ⎯⎯→ 5 m alto (12 largo)
200 € ⎯⎯→ x m alto (12 largo) => x = 2
200 × 5
= 2,5 m (12 largo)
La segunda parte del problema es esta: Si con 200 € puedo comprar una tela de 12 m de largo y 2,5
de alto, ¿qué altura tendrá la tela si el largo es 4m?
12 m largo ⎯⎯→ 2,5 m alto (200€)
4 m largo ⎯⎯→ x m alto (200€)
=> x = 4
12 × 2,5
= 7,5 m alto, 4 m largo y 200€

PRIMER EJEMPLO

La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar) tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.

Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( $5 \over 4$ en el ejemplo) tal que

$y_1 = k\cdot x_1, y_2= k\cdot x_2 \quad...\quad y_n= k\cdot x_n \$

variables proporcionales relacionados por una función lineal

Si se consideran $x_1, x_2 ... x_n \$ e $y_1, y_2 ... y_n \$ como valores de variables $x \$ e $y \$ , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):

$\Delta y = k \cdot \Delta x \$

Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase dematemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.

La relación «Ser proporcional a» es

reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)

por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).

La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Una proporción está formada por dos razones iguales:

a : b = c : d

Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .

Proporción múltiple:

Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:

a : b = c : d = e : f

Y se puede expresar como una proporción múltiple:

a : c : e = b : d : f

En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:

verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por $b \over a$ ; en la segunda línea se tiene que multiplicar por $d \over c$ , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un gran interés en este contexto). ya que no se puede comprobar.

SEGUNDO EJEMPLO

Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?

Entre mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje se dividirá por dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite responder a la pregunta:

cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad (segunda tabla). El tiempo será $2,5 \times \frac 7 {10} = 1,75$ , es decir una hora y 45 minutos.

Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar la proporcionalidad con $1 \over x$ , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:

Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175km, que es la longitud del recorrido.

Una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ejem:

número de canicas precio

2 canicas 50 centavos

4 canicas 1 peso

6 canicas 1,50 pesos

Magnitudes Directamente Proporcionales:

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número,la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.

Ejemplo:

Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?

Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante.Con los datos de la tabla, hallamos la razón.

Elaboramos una tabla de proporcionalidad:

Gasolina 3 1 10 20 40 (galones)

Recorrido 120 40 400 800 1600 (kilómetros)

Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, mas galones de gasolina de consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Esto es, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.