HOMOTECIA

HOMOTECIA

Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o varias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de unpunto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

A efectos prácticos una homotecia y una semejanza son lo mismo, y por tanto, se opera igual en una que en otra.

Siendo un poco más exactos, en una homotecia siempre hay un centro de homotecia definido, mientras que en la semejanza se puede utilizar cualquier punto. Es por ello que cuando se plantea un problema de homotecia siempre te dan el centro o datos para calcularlo. Mientras que en la semejanza no lo suelen dar, sino que eres tu el que eliges cual te conviene más. Habitualmente se escoge uno de los vértices de la figura por comodidad, aunque se puede utilizar cualquier punto incluidos los que estaneestán exterior o interior de la figura.

También se suele decir que dos figuras homotéticas deben de tener la misma orientación y sus lados ser paralelos, mientras que en una semejanza una figura puede estar girada respecto de la otra o incluso tener sus lados simétricos, aunque esto no os lo suelen plantear así.

Homotecia directa y homotecia inversa

En una homotecia de centro el punto O y razón k:

• Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se dice que la homotecia es directa.
• Si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se dice que la homotecia es inversa.

A la figura ABCD le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k > 0; homotecia directa.

A la figura ABC le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k < 0; homotecia inversa.

Imagen: Homotecia directa

Imagen:

Homotecia inversa

HOMOTECIAS y SEMEJANZAS, en general

1. Diferencias entre homotecia y semejanza
2. Hacer una recta que pase por un punto y por el punto de corte de otras dos que se cortan fuera de los limites del papel
3. Dos circunferencias iguales y tangentes entre sí, con centro en un vértice de un triángulo rectángulo, el otro centro en la hipotenusa y tangente a un cateto
4. ¿ Que es la razón de homotecia ?
5. Trazar un segmento tal que la distancia desde un punto a donde corte con dos rectas dadas sean la misma distancia
6. Homotecia de un triángulo conocido el centro de homotecia y la razòn de homotecia (Selectividad Andalucía)
7. Homotecia de una cuadrado conocido el centro de homotecia y que el cuadrado homotético tendrá de área cuatro veces la del original (Selectividad Andalucía)
8. Triángulo conocido un vértice y las rectas en las que se apoyan los otros dos, así como la relación entre dos lados
9. Triángulo rectángulo isósceles con sus vértices apoyados en tres rectas paralelas
10. Homotecia (o semejanza) de un polígono irregular conocido el centro de homotecia y la razón de homotecia
11. Homotecia de una figura irregular para que su homotética tenga de área la mitad de la dada, conocido un punto doble