HOMOTECIA

Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o varias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de unpunto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

A efectos prácticos una homotecia y una semejanza son lo mismo, y por tanto, se opera igual en una que en otra.

Siendo un poco más exactos, en una homotecia siempre hay un centro de homotecia definido, mientras que en la semejanza se puede utilizar cualquier punto. Es por ello que cuando se plantea un problema de homotecia siempre te dan el centro o datos para calcularlo. Mientras que en la semejanza no lo suelen dar, sino que eres tu el que eliges cual te conviene más. Habitualmente se escoge uno de los vértices de la figura por comodidad, aunque se puede utilizar cualquier punto incluidos los que estaneestán exterior o interior de la figura.

También se suele decir que dos figuras homotéticas deben de tener la misma orientación y sus lados ser paralelos, mientras que en una semejanza una figura puede estar girada respecto de la otra o incluso tener sus lados simétricos, aunque esto no os lo suelen plantear así.

Homotecia directa y homotecia inversa

En una homotecia de centro el punto O y razón k:

Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se dice que la homotecia es directa.
Si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se dice que la homotecia es inversa.

A la figura ABCD le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k > 0; homotecia directa.

A la figura ABC le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k < 0; homotecia inversa.

Imagen:

Homotecia directa

Imagen:

Homotecia inversa

HOMOTECIAS y SEMEJANZAS, en general

Ejemplo y Ejercicios del Teorema de Tales

El teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Para tener bien cimentado un conociemiento se dice que es necesario ponerlo en práctica antes de 48 horas.

Por esta razón ahora que ya conociste el teorema de tales y todo lo que engloba, su utilidad se te plantearán ejerccios para resolver trata de hacerlos tu solo si requieres apoyo regresa a la información antes estudiada.

Ejercicios de autoaprendizaje.

Problemas Propuestos.

1. Divide un segmento cualquiera en 4 partes iguales utilizando el teorema de Tales. Sabrías

hacerlo por otro procedimiento exacto.

2. Divide un segmento cualquiera en 5 partes iguales utilizando el teorema de Tales.

3. Divide un segmento cualquiera en 3 partes proporcionales a 2, 3, 5 utilizando el teorema de Tales.

4. De las parejas de triángulos siguientes conocemos los lados, determina cuales son semejantes y cuales no lo son.

En caso afirmativo indica la razón de semejanza:

a) 40, 30, 50 120, 90, 150

b) 7, 7, 7 20, 20, 20

c) 50, 60, 70 6, 7, 8

d) 10, 5, 15 6, 3, 9

e) 40, 60, 70 6, 9, 10

f) 3, 9, 3 20, 40, 20

g) 60, 30, 60 2, 4, 2

5. Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determina el cada caso la razón de

semejanza y los valores desconocidos:

a) 2, 4, 5 4, x, 10

b) 5, 8, 10 150, x, y

c) 30, 40, 50 x, 10, y

6. Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determina en cada caso la razón de

semejanza y los valores desconocidos:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

7. Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determina el cada caso los valores

desconocidos.

a) 45º, 90º, xº 45º, yº, zº

b) 35º, 65º, xº yº, 65º, zº

c) 35º, 45º, xº aº, bº, cº

d) xº, 35º, yº 105º, aº, bº

8. Una persona mide 1’75 m en el mismo instante que la medida de la su sombra es 1m, la

sombra de un edificio mide 25 m. Calcula la altura del edificio.

9. Un rectángulo tiene una diagonal de 75 m. Calcula sus dimensiones sabiendo que es semejante

a otro rectángulo de lados 36 m y 48 m.

10. La razón de semejanza de dos figuras es 6 determina la relación de sus áreas. Si la pequeña mide 10cm

11. El área de un cuadrado es 81 cm

grande y la razón de semejanza es 5.

12. El volumen de una esfera es de 1000 cm

radio.

13. Una escultura de 100 cm de altura pesa 2500 gr.

¿Cuánto pesará una reproducción de la misma material y de 220 cm de altura?

14. Una manguera de jardín tiene un radio de 1’2 cm. Queremos comprar otra manguera que tire

el doble de agua. Calcula el radio que tiene que tener.

15. El área de dos círculos es 25m

2 calcula el área de la grande.2 . Calcula la longitud de otro cuadrado sabiendo que es más3 . Calcula el volumen de otra esfera que duplique el2 y 50m2 . Calcula la razón de semejanza.

TEOREMA DE TALES

TEOREMA DE TALES

Como parte de los contenidos que estoy abordando en mi Licenciatura en Educación Secundaria en la Especialidad de Matemátias 5to sem. se encuentra como tema importante el Teorema de Tales por lo cual dejo información importante para entenderlo.

Es importante antes de entrar de lleno con el tema saber su definiciój o las antecdedentes que se utilizarán para entender el nvo. contenido por lo cual me es convenciente marcar la definición de algunas palabras antes del mismo teroema de tales:

Triangulo:

Figura geométrica formada por tres rectas que se cortan mutuamente, formando tres ángulos". Y claro, el nombre lo dice: TRI - ÁNGULO significa tres ángulos.

Rectas Secantes:

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto.

Dos rectas son secantes si tienen distinta pendiente.

m ≠ m'

Rectas Paralelas:

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

Proporcionalidad:

Llamese así al conjunto de dos magnitides que estan equilibradas

Sabiendo ya algunos de los conceptos que son necesarios en el teorema se presenta a continuación:

Teorema de Tales:

Cuando dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos que se forman en una de las secantes son proporcionales a los que se forman en la otra.

Para entender mejor la definición del teorema, imaginemos un triángulo

como el de la figura 1. Si señalamos un punto M sobre el lado AB y por él trazamos una paralela al lado BC, entonces, el lado AC del triángulo quedará cortado por la paralela en un punto que llamaremos N. Si volvemos a trazar otra paralela por un punto Q, que corte al lado AC por P, ya tendremos elementos suficientes para entender el teorema de Tales.

Pues bien, el teorema de Tales afirma que la razón de dos segmentos cualesquiera de los que se han formado en AB es igual a la razón de otros dos cualesquiera que estén en AC. Es decir, que si medimos y hallamos la razón